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电磁流量计

采用分离变量法建立包含电极尺寸及位置信息的电磁流量计干标定模型

        现有电磁流量计干标定模型中,电极尺寸、位置均被作了理想化处理,即假设电极尺寸无穷小、电极位于测量管段正中间的两个对称点上,两对称点连线与磁场垂直。这类理想化的模型与实际情况差异较大,限制了干标定的精度,并对产品一致性提出了很高的要求。针对这一问题,采用分离变量法建立了包含实际流量计电极尺寸及位置参数的电磁流量计干标定模型,比现有干标定模型更接近于实际流量计,有利于提高干标定精度,降低对产品一致性的要求。通过与现有模型及数值仿真的对比分析,验证了该模型的准确性。

           

    电磁流量计作为一种高性能液体流量计量仪表,计量精度已达到±0.5%以上,口径范围由3mm到4000mm[1],其中直径1m以上的大口径电磁流量计产品在水利工程、市政建设和环境保护等领域中具有非常广泛的应用。目前,电磁流量计的标定方法包括实流标定及干标定两种。实流标定的精度一般为±0.2%以上,被绝大多数电磁流量计厂家采用。但实流标定存在两个缺陷:①大口径流量计实流标定装置制造价格昂贵,标定成本极高。如:实流标定1.2m口径的仪表,需要250kW的水泵连续提供约1.5t/s的流量,标定时间约2~4h,标定装置造价约300万英镑[2];②实流标定装置所产生的流场通常为理想流场,很难利用现有的实流标定装置对多相流、浆液、粘性介质等非常规介质进行标定,在月2009年6月胡亮等:包含电极尺寸及位置信息的电磁流量计干标定模型89这类实流标定装置上进行模拟各种现场工况的流体运动学和动力学特性研究也十分困难。相比之下,电磁流量计干标定技术作为一种无需实际流体便可实现流量计标定的技术,在降低标定成本、装置制造成本,以及模拟各种实际流场、介质等方面,具有独特优势。

    电磁流量计干标定方法的核心是数学模型,数学模型的完善与否决定了干标定的精度、对产品一致性要求等特性。蕞完善的干标定模型应包含实际流量计的所有有用信息,以便更好地体现每台流量计的个体差异,使模型更加接近于实际流量计。现有干标定模型主要采用物理学家为分析、改进电磁流量计性能所建立的理想数学模型(如SHERCLIFF[3]、BEVIR等[4-5]、AL-KHAZRAJIT[6]、HEMP等[7],称之为理想数学模型是因为在某些参数上,模型不考虑实际流量计的数值及个体差异,进行了理想化处理。这些模型在相应的理想情况下具有足够的精度,理想化处理又降低了模型推导的数学难度,因此,在分析、改进电磁流量计性能方面被认为是非常成功的。但就干标定模型应尽可能地包含实际流量计所有有用信息的要求而言,这些理想模型用于干标定尚不够完善,被理想化处理的参数成为了干标定模型的误差源,导致了现有干标定技术与实流标定技术相比精度较低(普遍低于±0.5%,与标定0.5级电磁流量计所需的±0.2%仍有一定差距)、对产品一致性的要求较高,限制了干标定技术更好的工业化应用。因此,建立更接近实际流量计,即包含更多实际流量计信息的干标定模型,是改进电磁流量计干标定技术的重要任务。

    电极尺寸与位置便是现有电磁流量计干标定模型中被理想化处理的因素之一,现有模型中往往存在如下理想化处理:两电极的面积都为零,即理想的数学点;电极所在位置为测量管段正中间的两个对称点,其连线与磁场严格垂直。但实际流量计中,电极并非理想的数学点,也无法完全精却地安装在管段正中间的两个对称点上,这使其成为了电磁流量计干标定模型与实际流量计的差异之一。

    针对此问题,本文采用分离变量法建立了包含实际流量计电极尺寸及位置参数的电磁流量计干标定模型,比现有干标定模型更接近于实际流量计,有利于提高干标定精度、降低对产品一致性的要求,并进一步验证了模型的准确性。

    1 电磁流量计干标定方法

    1.1 电磁流量计测量原理

    电磁流量计测量原理如图1所示,管道内流动的导电液体切割磁力线,将在两端电极A、B间产生电势差UAB,UAB与磁通量密度B、液体流速v符合弗来明右手定则[1],从而通过测量UAB的大小可确定管道内介质流量。

    当不考虑位移电流时,可从麦克斯韦尔方程组推导出电磁流量计的基本微分方程如下[3]

    ∇2U=∇⋅(v×B)(1)

    式中,U是感应电动势,v为被测流体速度,B为测量空间内磁通密度,∇2为拉普拉斯算子,∇为哈密尔顿算子。

    1.2 干标定基本数学模型

    电磁流量计干标定模型需是可计算的数学表达式,因此需将微分方程式(1)转变成积分式。

    由于测量管道内壁除电极外都为绝缘体,即边界上没有法向电流(jn=0),且测量两个电极的电位差时,电极处不能有电流,因此,有边界条件

    ∂U/∂n=0(2)

    需借助Green函数G来解微分方程式(1),G满足Laplace方程

    ∇2G=0(3)

    对于内径为r,长度为2L的测量管段,G满足如下边界条件

    式中SA——电极A的面积

    SB——电极B的面积

    辅以管壁上v=0的边界条件,可得到式(1)的积分表达式[1]

    式中τ——电磁流量计测量空间

    W——权重函数,W=∇G

    式(5)便是用于电磁流量计干标定的基本数学模型,其中权重函数W的物理含义为:电磁流量计有效测量空间内任意微小流体微元切割磁力线所产生的感应电势对两电极间的电势差所起的作用大小。可见,若能分别得知v、B、W随空间坐标的表达式及测量空间τ,可通过式(5)计算出电极间输出电势差UAB,这便是电磁流量计干标定的基本原理。

    随空间坐标的表达式可通过流场分析得到,也可通过不同表达式实现不同流场、介质的模拟,B随空间坐标的表达式则可通过特殊的磁场测量方法得到,测量空间τ可通过测量管段的结构尺寸得知,而W随空间坐标的表达式,则需通过W=∇G计算得。G满足拉普拉斯方程式(3),其边界条件式(4)包含的信息为:管段尺寸、电极尺寸及电极位置。因此,电极尺寸、电极位置为求解权重函数W的数学表达式所必需的信息。若简单地将电极尺寸及位置做理想化处理,而忽略实际流量计中电极存在尺寸往往无法被准确地安装到管段正中间两个对称点上的事实,将不利于获取高精度的电磁流量计干标定模型。

    2 包含实际电极尺寸及位置参数的干标定模型

    上述分析说明,有必要在建模过程中考虑实际流量计的电极尺寸及位置。因此,将半径为r、长度为2L的电磁流量计一次传感器按如下方式建模:ρ、θ向尺寸及位置如图2a所示,电极A所覆盖范围为(ρ=r,γA–ΔγA≤θ≤γA+ΔγA),电极B所覆盖范围为(ρ=r,γB–ΔγB≤θ≤γB+ΔγB),其中γA、γB为表示电极θ向位置的变量,ΔγA、ΔγB为表示电极θ向尺寸的变量,若按照理想点电极处理,则γA=π/2,γB=–π/2,ΔγA=ΔγB=0;z向尺寸及位置如图2b所示,电极A所覆盖范围为(zA–ΔzA≤z≤zA+ΔzA),电极B所覆盖范围为(zB–ΔzB≤z≤zB+ΔzB),其中zA、zB为表示电极z向位置的变量,ΔzA、ΔzB为表示电极z向尺寸的变量,若按照理想点电极处理,则zA=zB=0,ΔzA=ΔzB=0。

    从以上分析可知,要得到干标定模型,便需得到权重函数W的数学表达式,即先在柱坐标系(ρ,θ,z)下求解式(3)。

    求解式(3)的边界条件式(4)可化为

    式(6)亦包含了管段两个端面的边界条件

    现采用分离变量法[8]求解此数学问题。式(3)在柱坐标系(ρ,θ,z)下的表达式为

    设方程的解为G=R(ρ)Θ(θ)Z(z),式(8)可化为

    等式左边只与R(ρ)、Θ(θ)有关,右边只与Z(z)有关,因此无论左边还是右边都只能等于常数α2

    得到求解Z(z)的方程为

    辅以边界条件式(7),解为

    式中,α=nπ/L,n=0,1,2,···。

    将α=nπ/L代入式(10),并移项,同理可得

    由式(13)可得求解Θ(θ)表达式的方程

    解为

    式中,m=0,1,2,···。

    由式(13)亦可得求解R(ρ)表达式的方程

    辅以自然边界条件:ρ→0时,R(ρ)不能为无穷大,得解为

    式中,Im为虚宗Bessel函数。

    将式(12)、(15)、(17)代入G的表达式G=R(ρ)Θ(θ)Z(z),可得

    式中,第以项级数对应n=0,第二项级数对应n≠0。

    边界条件式(6)化为

    下面利用边界条件式(19)求取式(18)中的系数Cm、Dm、Emn及Fmn,需运用三角函数的如下性质

    (1)求取Cm的表达式。

    式(19)两边同乘以sinmθ′,并在[0,2π]上对θ积分,有

    (4)求取Fmn的表达式。

    至此,已完成G的表达式求解。权重函数W的数学模型可利用W=∇G推算,例如直角坐标系(x,y,z)中,可通过式(26)计算出W的三个分量

    因此,直角坐标系(x,y,z)中,电磁流量计干标定模型式(5)可化为

    将式(26)代入式(27),将使干标定模型包含电极尺寸信息:ΔγA、ΔγB、ΔzA、ΔzB;电极位置信息:γA、γB、zA、zB。至此,便建立了包含电极尺寸及位置信息的电磁流量计干标定模型。

    3 模型准确性的验证

    干标定模型中,新建立的模型与以往模型相比,差别只在于权重函数W表达式的不同,因此只需对权重函数W或W的上级函数Green函数G的表达式进行验证,便可完成对干标定模型准确性的验证。蕞理想的模型验证方式是直接测量出电磁流量计测量空间内各点的权重函数值,与模型计算所得值计进行比较,但目前尚未有成熟的权重函数测量方法。若直接将模型运用到干标定系统中,与实流标定进行试验对比,则由于电磁流量计干标定模型中还包括磁场信息,会将磁场测量与计算误差引入其中,导致无法对模型的准确性做出客观的评价。因此,采用以下验证方式:将现有典型理想模型的电极参数代入所建立的干标定模型,与相应的理想模型进行比较,验证所建干标定模型在理想参数下的准确性;利用数值仿真,计算考虑实际电极尺寸与位置时测量空间内若干点的权重函数数值,与干标定模型计算所得数值进行对比。

    3.1 与理想模型比较

    选用SHERCLIFF[3]的线形电极模型及文献[1]中的点电极模型进行比较,如上所述,只需就权重函数W或W的上级函数Green函数G的表达式进行比较即可。

    SHERCLIFF所建立的线形电极模型基于理想的线形电极电磁流量计,且假设磁场B的方向与y轴平行,即Bx=Bz=0,流速v的方向与z轴平行,即vx=vy=0。

    将以上式子代入本文所建立的干标定模型,可得

    对于线形电极,电极尺寸及位置的具体参数取值如下:ΔγA→0、ΔγB→0、ΔzA=L、ΔzB=L、γA=π/2、γB=–π/2、zA=0、zB=0。将参数代入式(29),Dm、Emn及Fmn有关项都将为零,将Cm表达式(21)代入,并进一步化简后,可得

    坐标变换到(x,y,z)坐标系,即

    此结果与SHERCLIFF[3]所得到的W表达式一致,即在线形电极情况下,模型一致。

    王竹溪所建立的点电极模型基于理想的点电极流量计,电极尺寸及位置参数如下:ΔγA→0、ΔγB→0、ΔzA→0、ΔzB→0、γA=π/2、γB=–π/2、zA=0、zB=0。

    将以上参数代入式(18),Dm及Fmn有关项都将为零,代入Cm表达式(21)及Emn的表达式(24),并进一步化简后,可得Green函数G的表达式为

    此结果与文献[1]得到的Green函数表达式相同,即在点电极情况下,模型一致。需说明的是,王竹溪的模型中正x轴对应θ=0,而非图2所示的正y轴对应θ=0,式(32)已是将所建立的模型坐标调整至与王竹溪模型坐标相同后的结果。

    3.2 与数值计算比较

    在电磁流量计电极两端加上电压信号,测量空间内所形成的电场与权重函数具有相同的分布特性,因此可采用电场数值仿真的方式对权重函数模型进行验证。通过理想模型、包含实际电极参数的模型及数值仿真三者计算结果的比较,可较为明显地看出考虑实际电极尺寸与位置参数与否的差别。

    所比较流量计的参数为:r=100mm、L=500mm、ΔγA=ΔγB=5o、ΔzA=ΔzB=r×5o、γA=95o、γB=–85o、zA=r×5o、zB=–r×5o,且假设磁场B的方向与y轴平行,即Bx=Bz=0,流速v的方向与z轴平行,即vx=vy=0,则可由W的x分量Wx代替W。利用理想点电极模型、新建立的干标定模型及按实际电极参数所建立的数值仿真模型,分别对x、y与z轴上的权重函数数值进行计算。结果如图3所示,图中新、旧模型分别指新建立的包含电极尺寸与位置信息的干标定模型、理想点电极模型,对其中图3a所示的x轴上计算结果进行分析,可清晰地发现新模型较旧模型与数值计算结果更吻合,忽略实际电极尺寸与位置参数将带来较大的误差,尤其是在靠近电极的位置。计算结果还显示,在所给出的参数下,y与z轴上的权重函数受参数影响较小,但随着电极尺寸的加大及电极位置越来越偏离理想位置,y与z轴上的数值将呈现与x轴类似的现象,即旧模型的计算误差越来越大,新模型则能很好地与数值计算吻合。

    指出现有电磁流量计干标定模型过于理想化,并不能完全满足干标定的技术要求,要解决干标定技术精度较低、对产品一致性要求较高的缺点,有必要建立更接近实际流量计,即包含更多实际流量计信息的干标定模型。就现有模型中将电极尺寸、94机械工程学报第45卷第6期期位置作理想化处理,即假设:电极尺寸无穷小、电极位于测量管段正中间的两个对称点上且其连线与磁场垂直,致使模型与实际流量计存在差异的缺点,采用分离变量法建立了包含实际流量计电极尺寸及位置参数的电磁流量计干标定模型,模型比现有模型更接近于实际流量计。对新建立的干标定模型作了如下验证:①选用线形电极模型、点电极模型为比较对象,将这两种典型理想模型的电极参数代入所新建立的干标定模型进行计算,结果与这两种典型理想模型一致;②分别采用理想点电极模型、新建立的干标定模型及数值仿真,对参数为r=100mm、L=500mm、ΔγA=ΔγB=5o、ΔzA=ΔzB=r×5o、γA=95o、γB=–85o、zA=r×5o、zB=–r×5o的流量计权重函数数值进行了计算,结果显示新建立的干标定模型与数值计算结果吻合,而忽略实际电极参数的理想点电极模型则存在较大的计算误差。通过以上验证,证明了所建立模型的准确性,亦说明了建立此类更完善的电磁流量计干标定模型的必要性。 

点击次数:  更新时间:2016-07-25  【打印此页】  【关闭

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