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电磁流量计

采用有限元方法( FEM) 分析计算电磁流量计电场动态平衡过程

    从电磁流量计电场的基本公式出发, 分析了电极截面内电场的建立过程及平衡过程, 指出涡电流场在电极截面内分布的动态平衡性。结合相应的边界条件, 计算了平衡状态下涡电流场的分布及其对传统电磁流量计及多电极电磁流量计测量值的影响。通过数值计算及定量分析, 证明了多电极电磁流量计弦端压差测量方法的有效性。该研究有助于深入分析电磁流量计的工作原理及指导多电极电磁流量计的设计。

    电磁流量计是基于法拉第电磁感应定律的一种测量导电性液体流量的仪表。Scherclif f[ 1] 和Bevir[2] 对电磁流量计的基础理论及应用进行了深入的讨论和总结。其应用领域已遍及工农业生产及科学实验各部门, 但是其成功应用仍仅限于轴对称管流。而非轴对称流在工业诸领域是普遍存在的。在非轴对称流情况下, 仍有许多理论及实践问题有待解决[ 3~5] 。Eng[7] 采用均匀磁场, 在Maxw ell-Minkowski 方程的基础上, 通过对测量管管壁上感应电势积分获得了在任意流型下平均流速的表达式, 可用于非轴对称管流平均流速的测量。作者从法拉第电磁感应定律出发, 推导出适用于多电极对电磁流量计平均流速测量的弦端压差( 即电压差) 测量方法, 并给出两种弦端压差测量值加权方法[3] 。同时, 作者从Engl 方程出发, 得出弦端压差测量方法的另一种加权表达式[5] 。计算结果表明弦端压差测量方法对多对电极电磁流量计是有效的[3, 5] 。其中文献[ 5] 证明了弦端压差测量并加权求和的方法与Engl 方法的一致性。根据电磁感应定律及欧姆定律可以获得电磁流量计电极所在管道截面( 以下简称为电极截面) 内电场的

微分表达式。通常科技工作者的兴趣集中在电极截面的边界值的研究上, 以获得边界值的大小与流速( 或流速场分布) 的关系[ 1, 2, 4, 6] , 而较少涉及电极截面内部的涡电流场分布及其对边界测量值的影响。而研究该问题对从本质上解释传统的电磁流量计及新近提出的多电极电磁流量计的工作原理有重要作用。这里从电磁流量计电场的基本公式出发, 分析了电极截面内电场的建立过程及平衡过程, 指出涡电流场在电极截面内分布的动态平衡性。采用有限元法并结合相应的边界条件, 计算了平衡状态下涡电流场的分布。针对三种不同的流速分布, 通过数值计算定量分析了涡电流的存在对弦端压差测量值的影响, 并证明了在多电极电磁流量计中, 当电极数目足够大时, 采用弦端压差测量方法, 可以有效抑制非轴对称流动状态下涡电流的存在对平均流速估计产生的影响。

   2 理论基础

  2. 1 涡电流及其计算

  当导电性液体在磁场内流动切割磁力线时, 液体中则有感应电流产生。按照欧姆定律, 电磁流量计电极截面内电流场分布可描述为[ 1] : j..= ..(E .. + v..×B .. ) ( 1) 其中: j..是电流密度; .. 是液体的电导率; E .. 是电场强度; v.. 是液体流动速度; B .. 是磁感应强度。( 1) 式可改写为: E .. = j....- v..×B .. ( 2) 其中: ..= 1/ .. 表示电阻率。理论上讲, 当管道截面上各点流速相同时, 若采用均匀激励磁场, 流体中的电荷在洛伦兹力的作用下产生定向运动, 这样在管壁上就积累起静电荷。当静电荷产生的静电场力与洛伦兹力达到平衡时, 电荷的定向运动停止。在电极截面上电力线与电极所在直径平行且分布均匀, 与电力线垂直的等势线亦均匀平行分布。而在实际管道流体中电极截面上各点的流速并不相同, 导致这一截面内电力线及等势线非均匀分布, 从而产生垂直于洛伦兹力方向上的电场分量。流体中的静电荷在上述电场分量的作用下产生定向运动, 并在电极截面内形成涡电流[ 3] 。也就是说, 涡电流是由于静电荷产生的电场方向与磁感应电势方向的不平行造成的。假设该流量计满足长筒假设[7] , 那么涡电流在电极截面内是闭合的。涡电流的大小和分布由电极截面内的流速分布决定。流速分布不变, 则涡电流的分布不变。由于管道内的流体是不断流动的, 因而涡电流的“分布图形”也随流体的流动而不断流过电极截面。而电场的建立相对流体流动要快得多, 所以电极截面内总存在与当前时刻流速分布相对应的涡电流分布场, 即电极截面内的电场总处于一种动态平衡状态。根据( 2) 式, 可将电极截面内电场分布E .. 分解为j .. .. 和- v..×B .. 两部分。对于圆管层流流动, - v..×B .. 单独作用产生的电场的等势线分布如图1 中虚线所示。由于涡电流的存在, 使得其蕞终的电场E .. 等势线分布如图1 实线所示。从图中可以看出, 在靠近直径AB 处涡电流的方向与感应电场- v..×B .. 的方向相反。而在远离直径AB 的地方, 两者方向相同。涡电流的存在对磁感应电场起到了一定的平滑作用。具体讲就是将电势梯度大的地方的电场削弱, 而将电势梯度小的地方的电场增强, 表现为等势线弯曲程度的减弱。对于层流流动来说, 由于直径AB 上的平均流速v-AB= 43 v-, v- 为截面平均流速。因此由感应电场- v..×B .. 在直径AB 上的积分所得电势差应为: U′AB=∫AB( - v..×B .. ) dl..= 43 BDv- ( 3) 其中D 为圆管直径。由式( 2) 知由于涡电流的存在, 使得下式成立[1] : UAB=∫AB(j .. ..- v..×B .. ) dl .. = BDv- ( 4) 式( 4) 表明, 正是由于涡电流的存在使得在轴对称流情况下直径AB 两端测得的实际电压UAB恰好反映了管道的平均流速。当流速分布为非轴对称时, 上述关系不再成立。由此建立的测量方法也不再适用。由于激磁电流的角频率.. 很低, 位移电流完全可以忽略, 可以只考虑传导电流。这时, 电流密度的散度等于零, 即: .. ·j..= 0 ( 5) 假设液体的电导率是均匀, 而且是各向同性的, 即.. ..= 0, 并记E .. = - .. U, 把( 1) 式代入( 5) 式, 可得到电磁流量计电极截面内电势分布的微分方程式: .. 2U= .. ·( v×B) ( 6) 假设流速只有z 轴方向上的分量, 则上式简化为: .. 2U= - .. ..x ( Bvz ( x , y) ) ( 7) 采用有限元法, 设当余量值小于10- 6 的计算值收敛, 可解得( 7) 式在Neumann 边界条件..U/ ..n= 0 下的数值解, 即得到电极截面上各点电势。进而由( 1) 式可得到电极截面内的涡电流分布。图1 即为层流流速分布下的涡电流分布图( 如箭头所示) 。

   2. 2 非轴对称流的平均流速估计

   图2 表示流体管段的测量截面。为讨论方便, 设此截面为单位圆, .. 和L 代表内部区域和边界。截面中的流速场v..z (x ..) 沿z 轴指向读者。均匀磁场B .. 指向y 轴负向。为计算方便, 假设管道半径r、磁场强度B、流速平均值v- 均为1。根据弦端压差测量并加权求和方法[ 3, 5] , 非轴对称流的平均流速可采用下式估计: v..z= 1..∫ ..2 - ..2 1B UCD( ..) cos..·d.. ( 8) 其中:UCD( ..) = UD- UC= U( ..) - U( ..- ..) ( 9) UCD( ..) 表示在处于角度..下的弦CD 两端电极上测得的电势差, 如图2 所示, 可由( 7) 式计算得到。等式( 8) 表示通过对电极截面上各弦两端电势差对..的积分可得到管流的平均速度。此公式表明, 当测量电极数目为无限多时, 可得到准确的平均流速。实际应用中只能采用有限个电极, 式( 8) 离散化得:    ∧vz = 2N ΣN2 - 1 i= 1 1..B UCD( ..i) ·cos..i ( 10) 已证明[5] , 该方法与Engl 方程是统一的。根据式( 2) 及( 4) 可将UCD ( ..) 分解为纯磁感应电压U′CD( ..) 及涡电流产生的电压UeCD( ..) 两部分, 即: UCD( ..) = U′CD( ..) + UeCD( ..) ( 11) 其中:U′CD( ..) =∫CD- ( v..×B .. ) dl.. ( 12) UeCD( ..) =∫CD( j..·..)dl.. ( 13) 将( 11) , ( 12) , ( 13) 代入( 10) 得: ∧vz = 2 NBΣN2- 1 i= 1 cos( ..i)∫CD- ( v..×B .. )dl..+ 2 NBΣN2- 1 i= 1 cos( ..i)∫CD( j..·..)dl.. ( 14) 上式中右边第以项可理解为纯磁感应电压对平均流速估计的贡献, 第二项为涡电流的贡献。下面通过数值计算求得几种典型流型下电极截面内的涡电流分布, 并证明当N 足够大时可以有效抑制涡电流的存在对平均流速估计的影响。图1 等势线电涡流示意图   图2 多电极电磁流量计示意图   图3 网格划分示意图( 非均匀) 

   3 数值计算采用有限元法计算公式( 7) 时使用如图3 所示的极坐标下的O 型非均匀网格分割法。经计算可得到各种流型( 即不同流速分布) 下的电涡流分布图。图4 为三种不同的流速分布, 图5 给出相应的涡电流场的计算结果。电流是静电荷在电场力的作用下做定向运动而形成的, 涡电流也是这样。由( 1) 式可知, 涡电流是电极截面内积累的静电荷产生的静电场力与洛仑兹力的合力作用的结果。由图( 1) 和图( 5) 可以看出, 电流密度存在极值的位置总是对应流速的极值位置( 正蕞大或负蕞大) , 而且电流密度极值的数目等于流速的极值( 或峰值) 数目。流速的负极值即回流的蕞大流速处。涡电流的涡心( 即电流密度为0 的位置) , 总处于流速极值位置的两侧。通过分析还可以看出, 在流速极值处涡电流的方向与洛仑兹力的方向相同, 而远离流速极值处则相反。深入分析涡电流分布图有助于深入分析电极截面内的电场分布状况并深入理解电磁流量计的工作原理。图6 表示电极数N 为32 时, 层流下的涡流对弦端压差测量值的影响效果图, 其中图形数据点为抛开涡流作用时电极截面上各弦( 自上而下依次编号为1、2、..) 端压差分布图, 三角形数据点为包括涡流作用

图4 三种典型流型图5 相应于图4 三种流型下的涡流分布图时即流体截面达到动态平衡时电极截面上各弦端压差分布图。从图中可以看出电涡流的作用使得接近直径的弦端压差值降低, 远离直径处的弦端压差值增高。图6 层流下涡流对测量值的影响对于上述三种流速分布, 式( 14) 右边第二项在N= 4, 8, 16, 32 时的计算值如表1 所示。说明当N≥32 时, 涡电流项对∧v ( 标准流速平均值v- 为1) 的影响已被有效抑制( 小于0. 3%) 。表2 所示为上述三种流速分布下( 10) 式的估计偏差与电极数目的关系。从中可以看出当N≥16 时, ( 10) 式的估计偏差不大于0. 33%, 可见非轴对称流速分布造成的影响已被有效抑制。表1 涡电流对平均流速估计值的影响与电极数目的关系电极数目流型层流单偏峰偏峰有回流4 0. 333333 0. 766156   0. 472657 8 0 0. 092293 0. 0627 16 0 0. 005588 0. 03511 32 0 0. 000151 0. 002953 表2 不同流型下( 10) 式的估计偏差与电极数目的关系电极数目流型层流单偏峰偏峰有回流4 0. 00309   0. 06119   0. 116594 8 0. 00309 0. 00427 0. 00424 16 0. 00309 0. 0033 0. 00124 32 0. 00309 0. 0033 0. 00124 采用弦端压差测量方法, 电极数目为4 等价于电极数目为2, 即传统电磁流量计。表1 和表2 中电极数目为4 时层流状态下的结果分别论证了( 3) 式及( 4) 式。在实际管流中流速分布通常比较平滑, 没有图4 

( b) , ( c) 所示的锐利的尖峰, 因此涡电流对平均流速估计值的影响通常比表1 所示要低。电极数目一般可选为16。

   4 讨  论

    将式( 10) 改写为式( 14) 有重要意义。直观分析, 式( 14) 右边第二项在本质上是由流速分布的不均匀性引起, 而且当电极数目N 足够大时, 其值趋于零, 这时该项对平均流速的影响可忽略。而式( 14) 右边第以项却反映了平均流速的大小。由于涡电流属于无源场, 对任意一微元来说, 流入电荷等于流出电荷, 式( 14) 右边第二项的各个相加项, 当N 足够大时其总体对管道内平均流速的估计的贡献趋于0, 即式( 14) 第二项和趋于0。因此, 当N 足够大时, 式( 10) 可写为: ∧vz = 2N ΣN2 - 1 i= 1 1B U′CD( ..i) ·cos..i ( 15) 式( 15) 用做平均流速的估计, 实际上等效于文献[ 3] 给出的方法。由于U′CD ( ..) 代表了- v..×B .. 在弦CD 上积分产生的电势差, 将( 8) 式中的UCD用U′CD( ..) 代替, 并设cos..·d..= ds , ( 8) 式可化为: vz =∫1- 1U′CD( ..) B·CD ·CD·ds .. =∫1- 1v-CD·CD·ds .. ( 16) 式中CD表示弦CD 的长。ds 可视为相邻弦的间距。( 16) 式说明了不同弦上的弦端压差U′CD( ..) 以不同的权对v-z 作出贡献。实际上U′CD( ..) B·CD 表示弦CD 上各点的平均流速。而v-CD 的权, CD·ds .. , 恰好表示以弦CD为长、ds 为宽的区域, 如图2 阴影部分, 面积为CD·ds 在单位圆域( 其面积为..) 中所占的份额。因此当电极数目足够多时, ( 8) 式可用( 16) 式来等价。而( 16) 式的物理意义及几何解释是非常明确的。虽然理论上电极数目N 越多越好, 但在工程实践中由于受管径的限制及电极尺寸的影响, N 只能是有限的。作者在[ 8] 中给出了电极数目及电极尺寸的设计原则, 指出在实际设计多电极电磁流量计时, 在一定的测量精度要求下, 要综合考虑电极数目、电极尺寸、管道几何尺寸以及后续测量电路输入阻抗的大小等因素, 得到性能符合要求的多电极电磁流量计。电极数目可选为4 的整倍数。较大的管径可以采用较多数目的电极, 但也应综合考虑电极尺寸、测量电路复杂性等因素。一般来说, 150mm 以下的管径采用8、12 或16 电极, 150mm 以上的管径采用16 以上的电极, 考虑到电路复杂性, 蕞多不超过32。客观地说, 多电极电磁流量计比较适合于大管径( 150mm) 。对小管径来说轴对称流安装条件比较容易满足, 比如采用高流速设计、增加前直管段甚至垂直安装等。而对于大管径来说, 由于安装空间、管道条件( 如前直管段长度) 和管流流速等条件的限制, 不易形成轴对称流, 这时可以采用多电极电磁流量计

   5 结  论

    采用有限元方法( FEM) 分析计算了电磁流量计在均匀磁场激励、不同流速分布时, 在电极截面内形成的涡电流场, 提供了电极截面内电场动态平衡分析的一种有效手段。证明了多电极电磁流量计采用式( 10) 及( 14) 对平均流速进行估计时, 当电极数目足够大时, 涡电流的影响可被有效抑制。进而对( 10) 式进行简化得到的( 15) 式及对( 8) 式简化得到的(16) 式, 从几何上很好地揭示了弦端压差测量并加权平均方法。这里的研究方法及结论对开展及指导多电极电磁流量计的研究有重要意义。

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